Tính tổng của dãy số S = 1 + 2 + 3 + ... + n

Câu hỏi (bài tập):

Tính tổng của dãy số sau:

\(S = 1 + 2 + 3 + ... + n\)

Với \(n = 100\).

Phương án trắc nghiệm:

1. A. 5050
2. B. 5000
3. C. 4950
4. D. 5100

Đáp án chính xác:

A. 5050

Lời giải chi tiết (câu trả lời):

Dãy số cần tính tổng là dãy số tự nhiên từ 1 đến \(n = 100\). Ta sử dụng công thức tính tổng của một cấp số cộng:

\[ S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]

Thay \(n = 100\) vào công thức:

\[ S = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050 \]

Vậy tổng của dãy số là \(S = 5050\).

Trong toán học, tổng của một dãy số thường được tính dựa trên các công thức tổng quát hoặc tính chất của cấp số cộng (nếu dãy số là cấp số cộng). Đối với dãy số tự nhiên liên tiếp, ta sử dụng công thức tính tổng:

\[ S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]

Trong đó:

• \(n\): Số phần tử cuối cùng trong dãy số (số lớn nhất).
• \(S\): Tổng của dãy số.

Phương pháp giải tổng quát theo từng bước:

1. Bước 1: Xác định dãy số

   Kiểm tra xem dãy số có phải là dãy số tự nhiên liên tiếp hay không. Nếu dãy số bắt đầu từ 1 và kết thúc tại \(n\), bạn có thể áp dụng công thức tổng quát.

2. Bước 2: Xác định số phần tử cuối cùng (\(n\))

   Xác định giá trị \(n\) (số lớn nhất trong dãy).

3. Bước 3: Áp dụng công thức

   Sử dụng công thức:

   \[ S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]

   Thay giá trị \(n\) đã xác định vào công thức để tính tổng.

4. Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

   Kiểm tra lại bằng cách tính thử từng bước với các dãy nhỏ hơn hoặc sử dụng phần mềm hỗ trợ để so sánh.

Ví dụ minh họa:

Giả sử bạn cần tính tổng của dãy số từ 1 đến 100:

Bước 1: Dãy số từ 1 đến 100 là dãy số tự nhiên liên tiếp.

Bước 2: \(n = 100\).

Bước 3: Áp dụng công thức:

\[ S = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050 \]

Bước 4: Kết quả được xác nhận là chính xác.

Phương pháp này có thể áp dụng cho nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến dãy số tự nhiên hoặc cấp số cộng.